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Concepto de relación

Que es un conjunto?

Conjunto: un conjunto es la agrupación de dos o más cosas que se relacionan entre si

Que son las relaciones?

La relación  es la unión de dos conjuntos donde al primer conjunto (A) le corresponden uno o más elementos del segundo conjunto (B)

Estas relaciones están ubicadas dentro del plano cartesiano,

Tipos de relaciones en Matemáticas Discretas

Nombre de la Relación

Descripción

Ejemplo

Relación binaria

El tipo de relación más utilizado, y en especial para las áreas informáticas es la binaria, si se tiene el caso de  (a, b)  R significa que el término a está relacionado con b y se representa como aRb, pero si  (a, b) R, entonces a no está relacionado con b.

 

Cuando un compilador traduce un programa informático construye una tabla de símbolos que contiene los sus nombres, los atributos asociados a cada nombre y las sentencias de programa en las que están presentes cada uno de los nombres. Así pues, si S es el conjunto de los símbolos, A es el conjunto de los posibles atributos y P es el conjunto de las sentencias de programa, entonces la tabla de símbolos incluye información representada por las relaciones binarias de S a A y de S a P.

 

Relación inversa

Si  es una relación inversa, es decir,  -1, con la siguiente propiedad:

 

Sea las siguientes relaciones

R1= El conjunto de los siguientes pares ordenados: (11,12),(13,15),(12,17),(19,-11)

R2 = El conjunto de los siguientes pares ordenaos (a,15),(a,13),(b,17),(1d,14),(e,16)

Por lo tanto la relación inversa es:

R1-1= Al conjunto de pares (12,11),(15,13),(17,12),(-11,-19)

R2-1= Al conjunto de pares (15,a),(13,a),(17,b),(14,d),(16,e)

 

Relación Reflexiva

Una relación se llama reflexiva si todo elemento está relacionado con sigo mismo, si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva.

Sea A = {1, 3, 5}.

R = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} es reflexiva en A.

Ya que cada elemento de A está relacionado consigo mismo: (1,1)  (5,5)   (3,3)

Relación Irreflexiva.

 

Una relación binaria es irreflexiva, también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo.

 

Sea A = {2, 4, 6}.

R = {(2, 2), (6, 4), (6, 6), (4, 2)} es irreflexiva en A, ya que, a pesar de que existen dos elementos que se relacionan consigo mismos, falta un elemento que no se relaciona consigo; ese elemento es el 4.

 

Relación Simétrica.

Una relación binaria es simétrica, si se cumple que un par ordenado (A,B) pertenece a la relación entonces el par ( B,A ) también pertenece a esa relación.

 

Sea A = {3, 4, 2} entonces:

R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2)} es simétrica en A. Ya que para cada par (a, b) que pertenece a R existe el par (b, a) como (2, 3) y (3,2) y (3,4) y (4,3).

 

Relación Antisimetrica

Una relación binaria se dice que es antisimétrica si los pares ordenado (A,B) y (B,A) pertenecen a la relación entonces A = B.

Dicho de otra manera, no existen los elementos A, B distintos, y que a este relacionado con B y B este relacionado con A.

 

Sea A = {2, 4, 6} entonces:

R1 = {(2, 2), (4, 4)} es antisimétrica en A.

R2 = {(2, 4)} es antisimétrica en A.

Relacion Transitiva.

 

Una relación binaria es transitiva cuando, dado los elementos A, B, C del conjunto, si A esta relacionado con B y B esta relacionado con C, entonces a esta relacionado con C.

 

Sea A = {2, 4, 6, 3} entonces:

R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} es transitiva en A

Ya que (4,6) (6,2) por lo tanto (4,2)

 

Relación de equivalencia

La relación de equivalencia es la que cumple sobre un conjunto relaciones de tipo reflexiva, simétrica y transitiva

Congruencia Módulo n (mn)

Sean x y z enteros, y n un entero positivo. Decimos que x es congruente a z módulo n siempre que x-z sea un múltiplo de n, por lo tanto  s xi es congruente a z módulo entonces se expresa  x z(mn), ósea, que x z(mn) ; supóngase que 2 8(mn2);2 -8(mn2);39(mn2),3 (mn2) y conforme lo anterior y considerándose la relación en Z se tiene:

R=x,z tal que z(mn)

Y esta relación de equivalencia es llamada congruencia módulo n.

 

Cerraduras reflexiva

Sea R una relación no reflexiva sobre el conjunto A. La relación reflexiva R1 más pequeña que contenga a R1es R unida a la relación diagonal de A (ΔA).

 

Sea R= {(1,1),(1,2),(2,1),(3,2)} en el conjunto A={1,2,3}

R1={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3)}

R1 se forma añadiendo todos los pares de la forma (a, a) con a ϵ A que no estén en R

 

Cerradura simétrica

Sea R una relación no simétrica sobre el conjunto A. La relación simétrica R1, más pequeña que contenga a R1, es R unida a la relación inversa de R(R-1).

Sea R= {(1,1),(1,2),(2,3),(3,1),(3,2)} en el conjunto A={1,2,3}

R1={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}

R1 se forma añadiendo todos los pares de la forma (b, a) con (a, b) ϵ R que no están en R